Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus Simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya pengembalian kredit masa Datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu Jumlah hasil investasi yang akan diterima dimasa datang. Misalkan modal poko sebesar P dibungakan secara majemuk Dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut dimasa datang setelah n tahun (F_(n)) ) dapat dihitung Sebagai berikut:
Setelah 1 tahun : F_1=P+P . i=P (1+i)
Setelah 2 tahun : F_2 =P+P. i=P(P+p . i)i=P (1+i)^2
Setelah 3 tahun : F_3=P+P . i=P (1+i)^2 i=P (1+i)^3
Setelah n tahun : F_n=( ………)+(………)i=P (1+i)^n
Dengan demikian, jumlah dimasa yang akan datang sekarang adalah :
F_n=P (1+i)^n dengan P : jumlah sekarang
i : tingkat bunga pertahun
n : jumlah tahun
[bandingkan rumus ini dengan rumus deret ukur S_n = ap^(n -1) , Keduanya identik, P dan F_0 disini identik dengan a ata S_1 dalam rumusan deret ukur, (1 + i) identik dengan P dalam deret ukur.
Ringkasnya, F_n disini identik dengan S_(1+n) dalam deret ukur]. Rumusan di atas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga Diperhitungkan dibayar satu kali dalah satu tahun. Apabila bunga diperhitungkan dibayar lebih dari satu kali (mislakan m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam setahun, maka jumlah dimasa yang akan datang menjadi :
F_n=P ( 1+ i/m)^mn M : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Suku (1 + i) dan ( 1 + i/m ) dalam dunia bisnis dinamakan “ faktor Bunga Majemuk “ ( compounding interest factor), yaitu suatu bilangan lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa Datang dari suatu jumlah sekarang.
Dari rumus di atas, dengansedikit manipulasi matematis,
dapat pula Dihitung besarnya dari sekarang apabila yang
diketahui jumlahnya Dimasa datang. Nilai sekarang (present value)
dari suatu jumlah Uang tertentu dimasa datang adalah:
Suku 1/(1+i)^n dan 1/(1+i)^mn dinamakan “ faktor diskonto” (discount Factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai Untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
KASUS 1
Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta Rupiah untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % Pertahun. Berapa jumalah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester berapa jumlah yang harus ia Kembalikan?
Jawab:
P = Rp. 5.000.000 F_n=P (1+i)^n
n = 3 F_3=5.000.000 (1+0,02)^3
i = 2 % = 0,02 = 5.000.000(1,061208)
= 5.306.040
Jadi jumlah yang harus dikembalika lebih besar Rp. 5.306.040
Seandainya dibayarkan setiap semester, M = 2, maka:
F_n=P(1+ i/m)^mn
F_3=5.000.000 (1+ 0,02)^6
= 5.000.000 (1,06152)
= 5.307.600
Jadi jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar Rp.5.307.600
KASUS 2
Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi besar Rp.532.400 saat 3 tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% Pertahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?
Jawab:
F = 532.400 P= 1/((1+i)^n ) x F
n = 3 = 1/((1+0,1)^n ) x 532.400 = 400.000
i = 10% = 0,1
Jadi, besarnya tabungan adalah Rp.400.000
Setelah 1 tahun : F_1=P+P . i=P (1+i)
Setelah 2 tahun : F_2 =P+P. i=P(P+p . i)i=P (1+i)^2
Setelah 3 tahun : F_3=P+P . i=P (1+i)^2 i=P (1+i)^3
Setelah n tahun : F_n=( ………)+(………)i=P (1+i)^n
Dengan demikian, jumlah dimasa yang akan datang sekarang adalah :
F_n=P (1+i)^n dengan P : jumlah sekarang
i : tingkat bunga pertahun
n : jumlah tahun
[bandingkan rumus ini dengan rumus deret ukur S_n = ap^(n -1) , Keduanya identik, P dan F_0 disini identik dengan a ata S_1 dalam rumusan deret ukur, (1 + i) identik dengan P dalam deret ukur.
Ringkasnya, F_n disini identik dengan S_(1+n) dalam deret ukur]. Rumusan di atas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga Diperhitungkan dibayar satu kali dalah satu tahun. Apabila bunga diperhitungkan dibayar lebih dari satu kali (mislakan m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam setahun, maka jumlah dimasa yang akan datang menjadi :
F_n=P ( 1+ i/m)^mn M : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Suku (1 + i) dan ( 1 + i/m ) dalam dunia bisnis dinamakan “ faktor Bunga Majemuk “ ( compounding interest factor), yaitu suatu bilangan lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa Datang dari suatu jumlah sekarang.
Dari rumus di atas, dengansedikit manipulasi matematis,
dapat pula Dihitung besarnya dari sekarang apabila yang
diketahui jumlahnya Dimasa datang. Nilai sekarang (present value)
dari suatu jumlah Uang tertentu dimasa datang adalah:
Suku 1/(1+i)^n dan 1/(1+i)^mn dinamakan “ faktor diskonto” (discount Factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai Untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
KASUS 1
Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta Rupiah untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % Pertahun. Berapa jumalah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester berapa jumlah yang harus ia Kembalikan?
Jawab:
P = Rp. 5.000.000 F_n=P (1+i)^n
n = 3 F_3=5.000.000 (1+0,02)^3
i = 2 % = 0,02 = 5.000.000(1,061208)
= 5.306.040
Jadi jumlah yang harus dikembalika lebih besar Rp. 5.306.040
Seandainya dibayarkan setiap semester, M = 2, maka:
F_n=P(1+ i/m)^mn
F_3=5.000.000 (1+ 0,02)^6
= 5.000.000 (1,06152)
= 5.307.600
Jadi jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar Rp.5.307.600
KASUS 2
Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi besar Rp.532.400 saat 3 tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% Pertahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?
Jawab:
F = 532.400 P= 1/((1+i)^n ) x F
n = 3 = 1/((1+0,1)^n ) x 532.400 = 400.000
i = 10% = 0,1
Jadi, besarnya tabungan adalah Rp.400.000
